Fourier_01_图像傅里叶变换的公式推导（二）
posted on 19 Feb 2018 under category 2018_02
2 卷积运算形式
卷积就是定义的一种运算，运算的形式和日常接触到的加减乘除有些区别，在下理解它是建立在积分上的一种计算方式，下面根据它的数学形式，一步步来谈一谈在下对它构成的理解。
2.1 卷积公式
卷积公式表示如下：
这个公式中f和g是自变量n的函数，τ 在这里是一个积分关系的因子，它与卷积的结果没有直接关联，仅仅是一个表示卷积计算过程的变量。那么接下来就根据这个数学表达式的形式和变量的关系来讲一讲在下对卷积这个运算过程的理解。
2.2 卷积过程
对于卷积过程，在下认为，可以从一维以及这两个变量n和 τ 入手：
想象在一个一维直线（τ轴）上，有两个函数f和g，两个函数分别在某个线段（也可能是无限长）上代表了一系列的值，这个时候，两个函数的相对位置还没有确定，尚不能确定这两个函数的关系，这两者还不能知道是否处于重合、包含或者完全分离互不相关的位置，如图所示：
图中采用比较，当标定两个函数的相对位置关系，此时就能确定两个函数的重合关系。让两个函数相向而行，引入变量n表示他们（各取一个标记点）的相对位置关系，即得到如下图所示的关联状态：
当n取值变化的时候，两者的相对位置关系发生变化，在取到一定值得时候，两者会出现重叠。这个时候有两个地方在下作为重点提醒各位：
（1）作为一个运算过程的结果，卷积关心的问题是两个函数的重叠部分。
（2）以前τ轴是两个函数的自变量，现在它不再显示运算之外的属性，自变量从绝对位置τ变成了相对位置n。
明确这两点之后，接下来的操作就很简单了，卷积的结果就是线段的重叠的每个部分的乘积。（有的地方认为是面积）在下认为还是用积分的说法更好一些。
以上就是在下对卷积过程的理解。卷积这个过程对于初次接触者可能是很难有形象的理解，在下也极不推荐教科书之类的对于卷积下的一段定义，太过于抽象空泛，中文的文字描述还不如自己动手推算一次卷积的公式靠谱。因为相比之下数学的表达也是要清晰完备很多并且漂亮很多，最推荐的是大家尝试采用自己的例子函数f和g来推算一次卷积的结果。除此之外，为了建立形象化的卷积概念，还有不少版本的讲解，例如知乎@马同学的答案，以及下面一些答案都可以当作参考，特别是在本篇中没有涉及到的一些离散卷积过程的讲解可以多看一看。卷积涉及到的学科不少，即使是学过卷积的同学，再了解一下不同的理解方式，说不定还会有别的角度的启发。
2.3 卷积性质
有数学公式之后，卷积的性质是比较好说明的，问题在于在下需要根据需要的部分来侧重卷积的性质讲解，一些参考资料，包括在下以前上课的课件上对卷积有不同侧重的讲解过，不同科目对卷积的性质偏重是不同的，例如：数学上会关注它的奇偶性、正反展开的特性；信号与系统以及自动控制原理会关注它的串联和级联特性；傅里叶光学会关注各种不同的传递函数、偏重连续变换；图像处理会关注二维离散卷积的特性以及卷积与傅里叶变换的关联。在下安排章节的时候，把这一章当作一个基础的介绍，并不准备把它深入的分析，主要起一个承接卷积的数学表达与傅里叶变换之间关系的桥梁，为之后的傅里叶变换性质做一个铺垫。
进入正题，卷积的性质一般这样分类：
（1）代数性质：交换律、分配率、结合律；
（2）与冲激函数或阶跃函数的卷积
（3）微分积分性质
相比而言，在下画出重点的部分在交换律、分配率、结合律上，这个部分影响傅里叶变换的组合问题，这三个性质具备了我们习惯的线性空间的特性，有了它的基础，有些计算结果可以不证自明。如果对其他性质有兴趣的，想了解这些性质证明的朋友可以看一下这两个课件的讲解：西安电子科技大学的课件和北京邮电大学的课件。如果想更早一部的进入图像处理的部分，可以参考经典教材《数字图像处理》冈萨雷姆第三版阮秋琦译P130。
今天的更新就这么多，祝大家新年快乐！本命狗在这里给大家顺便拜个晚年~
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