Tech House of FLY

Fourier_01_图像傅里叶变换的公式推导（二）

Mon, 19 Feb 2018 00:00:00 +0000

2 卷积运算形式

卷积就是定义的一种运算，运算的形式和日常接触到的加减乘除有些区别，在下理解它是建立在积分上的一种计算方式，下面根据它的数学形式，一步步来谈一谈在下对它构成的理解。

2.1 卷积公式

卷积公式表示如下：

这个公式中f和g是自变量n的函数，τ 在这里是一个积分关系的因子，它与卷积的结果没有直接关联，仅仅是一个表示卷积计算过程的变量。那么接下来就根据这个数学表达式的形式和变量的关系来讲一讲在下对卷积这个运算过程的理解。

2.2 卷积过程

对于卷积过程，在下认为，可以从一维以及这两个变量n和 τ 入手：

想象在一个一维直线（τ轴）上，有两个函数f和g，两个函数分别在某个线段（也可能是无限长）上代表了一系列的值，这个时候，两个函数的相对位置还没有确定，尚不能确定这两个函数的关系，这两者还不能知道是否处于重合、包含或者完全分离互不相关的位置，如图所示：

图片0201 设一维变量函数f和g为随τ轴变化的一些取值

图中采用比较，当标定两个函数的相对位置关系，此时就能确定两个函数的重合关系。让两个函数相向而行，引入变量n表示他们（各取一个标记点）的相对位置关系，即得到如下图所示的关联状态：

图片0201 f和g的相对位置关系

当n取值变化的时候，两者的相对位置关系发生变化，在取到一定值得时候，两者会出现重叠。这个时候有两个地方在下作为重点提醒各位：

（1）作为一个运算过程的结果，卷积关心的问题是两个函数的重叠部分。

（2）以前τ轴是两个函数的自变量，现在它不再显示运算之外的属性，自变量从绝对位置τ变成了相对位置n。

明确这两点之后，接下来的操作就很简单了，卷积的结果就是线段的重叠的每个部分的乘积。（有的地方认为是面积）在下认为还是用积分的说法更好一些。

以上就是在下对卷积过程的理解。卷积这个过程对于初次接触者可能是很难有形象的理解，在下也极不推荐教科书之类的对于卷积下的一段定义，太过于抽象空泛，中文的文字描述还不如自己动手推算一次卷积的公式靠谱。因为相比之下数学的表达也是要清晰完备很多并且漂亮很多，最推荐的是大家尝试采用自己的例子函数f和g来推算一次卷积的结果。除此之外，为了建立形象化的卷积概念，还有不少版本的讲解，例如知乎@马同学的答案，以及下面一些答案都可以当作参考，特别是在本篇中没有涉及到的一些离散卷积过程的讲解可以多看一看。卷积涉及到的学科不少，即使是学过卷积的同学，再了解一下不同的理解方式，说不定还会有别的角度的启发。

2.3 卷积性质

有数学公式之后，卷积的性质是比较好说明的，问题在于在下需要根据需要的部分来侧重卷积的性质讲解，一些参考资料，包括在下以前上课的课件上对卷积有不同侧重的讲解过，不同科目对卷积的性质偏重是不同的，例如：数学上会关注它的奇偶性、正反展开的特性；信号与系统以及自动控制原理会关注它的串联和级联特性；傅里叶光学会关注各种不同的传递函数、偏重连续变换；图像处理会关注二维离散卷积的特性以及卷积与傅里叶变换的关联。在下安排章节的时候，把这一章当作一个基础的介绍，并不准备把它深入的分析，主要起一个承接卷积的数学表达与傅里叶变换之间关系的桥梁，为之后的傅里叶变换性质做一个铺垫。

进入正题，卷积的性质一般这样分类：

（1）代数性质：交换律、分配率、结合律；

（2）与冲激函数或阶跃函数的卷积

（3）微分积分性质

（懒手打，微分积分性质凑合看吧）

相比而言，在下画出重点的部分在交换律、分配率、结合律上，这个部分影响傅里叶变换的组合问题，这三个性质具备了我们习惯的线性空间的特性，有了它的基础，有些计算结果可以不证自明。如果对其他性质有兴趣的，想了解这些性质证明的朋友可以看一下这两个课件的讲解：西安电子科技大学的课件和北京邮电大学的课件。如果想更早一部的进入图像处理的部分，可以参考经典教材《数字图像处理》冈萨雷姆第三版阮秋琦译P130。

今天的更新就这么多，祝大家新年快乐！本命狗在这里给大家顺便拜个晚年~

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Fourier_01_图像傅里叶变换的公式推导（一）SP——指正与补充

Wed, 14 Feb 2018 00:00:00 +0000

图像傅里叶变换的公式推导SP——指正与补充

1 Point_out_Q1 fftshift(fft(fftshift(function)))的形式

昨天在下更新一波以后，LWL大佬指出，在fftshift变换的问题上面，国内和国外使用方式有些不一致。当时我的第一反应是在周期序列的背景下，shift的运算规整方式不同不影响操作和计算，为了确定fftshift(fft(function))和fftshift(fft(fftshift(function)))两种写法究竟会带来什么样的区别，在下设计了一段代码来进行验证：

clear all
clc

%%%---LWL大佬的指正与补充---%%%
%%%---读取归一化lena图---%%%
I = imread('lena.jpg');
I = rgb2gray(I);
I = im2double(I);
figure;

%%%---正变换---%%%
%%%---fftshift(fft(function))形式---%%%
I_fft = fftshift(fft2((I)));
I_fft_d = (log(abs(real(I_fft)+1)));
subplot(221);imshow(I_fft_d, [ ])
title('I-fft-d')
%%%---fftshift(fft(fftshift（function)))形式---%%%
I_fft2 = fftshift(fft2(fftshift(I)));
I_fft_d2 = (log(abs(real(I_fft2)+1)));
subplot(222);imshow(I_fft_d2, [ ])
title('I-fft-d2')


%%%---逆变换---%%%
I_ifft = (ifft2(ifftshift(I_fft)));
subplot(223);imshow(I_ifft, [ ])
title('I-ifft')

I_ifft2 = ifftshift(ifft2(ifftshift(I_fft2)));
subplot(224);imshow(I_ifft2, [ ])
title('I-ifft2')


%%%---校验---%%%
sub_1 = I - I_ifft;
sub_2 = I - I_ifft2;%% 两个方式变换回去的结果都是和原信息一致
sub_3 = I_fft - I_fft2;%% 相角相反
sub_4 = I_ifft - I_ifft2;%% 结果一致

代码01SP01 对fftshift操作的验证

在这段代码中，I_fft系列变量采用fftshift(fft(function))的方式，I_fft2系列变量采用fftshift(fft(fftshift(function)))的方式，正反变换之后使用sub_1、sub_2以及sub_4验证，原图和两种变化得到的图结果都是一样的（计算误差范围内）。运行结果如下：

图片01SP02 两种不同的shift写法的频谱与还原结果图

而对于频谱的部分，sub_3的结果并不是足够小，反而还挺大的。不着急，找这类问题最好的解决方式还是回到数据上来分析。

既然是有较大值的点，那么不妨从最大值部分来找。在命令行输入：

[a, b] = max(max(sub_3));
[c, d] = max(max(sub_3’));

找到最大值点的位置(d, b)，然后回到I_fft和I_fft2的数据上，观察到如下图：

发现两者在区域内的数字，虚部和实部数值上相等但是符号相反。初步得到一个推断（如代码注释）：这两种变换初始相角相差π。（相角这个部分准备在物理意义里面说的，提前在这里提及应该可以建立一点点小印象）

最终得到的结论是：这两种变换方式不会改变的实质，在操作上和计算上确实没有问题，在关心频谱实部的情况下，两者得到的频域显示结果是一样的。

2 Point_out_Q1 离散傅里叶变换矩阵

昨天的文章结尾处提到计算速度的问题，WY大佬留言提到“把循环改成矩阵，内存换速度”的建议。对此在下下去查证了一下离散傅里叶变换矩阵的相关资料，老实说，现在还没消化透彻，借助MATLAB已有的函数勉强演示一下离散傅里叶变换矩阵的使用，大家如果感兴趣，请参照离散傅里叶变换的矩阵表示及其运算量这个课件，以及MATLAB的help文档中dftmtx函数的使用。

简单的描述一下构造离散傅里叶变换矩阵的过程。在昨天提到的二维离散傅里叶变换的式子中，可以观察到exp(-2pi*(function))的式子是有规律的，对于这种规律可以总结成如下公式：

对于式子WN我们可以构建出矩阵形式和空频的转换关系如下：

基本的公式原理得到以后，要设计实验验证离散傅里叶变换矩阵的正反变换效果，以及掌握基本的函数操作方法。

在下对于这个问题，使用dftmtx制造了一个离散傅里叶变换矩阵H_ft，以及逆变换矩阵H_ift进行变换然后和fft的变换方式对比结果，代码如下：

clear all
clc

%%%---WY大佬的指正与补充---%%%
%%%---设计冲激函数---%%%
n = 256;
x = 1:1:n;
% J = 0.5*sin(x/n*2*pi)+0.5;%% 开始准备用正弦函数，但是频谱特征一般
J = (x == 128);%% 单位冲激函数
figure;
subplot(331);plot(J);
title('冲激函数J')


%%%---通过离散傅里叶变换矩阵进行变换---%%%
H_ft = dftmtx(n);
J_ft = fftshift(H_ft*J');
J_ft_d = log(abs(real(J_ft))+1);%% _d标志表示display，用于显示的结果，不计算
subplot(332);plot(1:1:256, J_ft_d)
title('J-ft-d')

%%%---逆变换---%%%
H_ift = conj(dftmtx(n))/n;
J_ift = H_ift*ifftshift(J_ft);
subplot(333);plot(1:1:256, abs(J_ift)')
title('abs(J-ift)')


%%%---fft进行傅里叶变换---%%%
J_fft = fftshift(fft(J));
J_fft_d = log(abs(real(J_fft))+1);
subplot(335);plot(1:1:256, J_fft_d)
title('J-fft-d')

%%%---逆变换---%%%
J_ifft = ifft2(fftshift(J_fft));
subplot(336);plot(1:1:256, abs(J_ifft))
title('abs(J-ifft)')


%%%---校验参数---%%%
sub_5 = J - J_ift';
sub_6 = J - J_ifft;
sub_7 = J_ift' - J_ifft;
sub_8 = J_fft - J_ft';
subplot(337);plot3(1:1:256, real(J_fft), imag(J_fft));title('J-fft')
subplot(338);plot3(1:1:256, real(J_ft'), imag(J_ft'));title('J-ft')
subplot(339);plot3(1:1:256, real(sub_8), imag(sub_8));title('J-fft - J-ft')

代码01SP02 对离散傅里叶矩阵的变换进行的验证

结果如图：

图片01SP03 离散傅里叶变换矩阵的变换结果以及验证结果图

这个结果图片和sub的计算结果表明dftmtx和fft运算结果的一致。需要提醒大家的是注意矩阵运算的行和列，有几个地方需要进行转置运算，否则会报出“Index exceeds matrix dimensions.”的报错。

这里放出结果图主要是想展示一下两种方式得到的频谱图的差别。在做sub_8运算的时候，发现在这次的变换中也出现了和今天SP验证中一样的问题，就是实部相等，虚部不一致（如图J-fft – J-ft）。

因为这一次是一维函数，用x轴和y轴来表示real部分和imag部分，可以表示出一维情况下，两种不同变换方式的复数频谱结果，观察到漂亮的螺旋结构（好吧，在下的审美只能这样了），两个螺旋看上去方向相反，差值结果具有变化规律。这样子，前面的相角差值的推断得到了进一步的验证，并且在这个变换的对比中，正好也出现了“相角相差π”的情况。

回到我们要解决的主要问题：离散傅里叶变换矩阵的变换效果，在这种操作过程下和快速傅里叶变换得到的结果一致，这种“内存换时间”的做法，非常值得使用。当然这种方法正是快速傅里叶变换的核心思想，蝶形的运算模式剩下了大量的计算量。并且，因为这个矩阵和快速傅里叶变换极强的关联性，dftmtx(n)得到的结果其实就是调用fft(eyes(n))（在MATLAB的源码里面就是这样调用的）。在下今天只吃透了这么多，具体的数学过程请看本章开始的参考资料。

非常感谢LWL和WY两位大佬的指正和补充！也希望其他走过路过的盆友们多多指教！明天（不会）更新更基础的卷积运算部分，下一个chapter见~

Fourier_01_图像傅里叶变换的公式推导（一）

Tue, 13 Feb 2018 00:00:00 +0000

1 图像的傅里叶变换公式

1.1 二维离散傅里叶变换公式

f(x, y) 是时域函数，x、y表示图像点的空间位置；F(u, v) 是频域函数，u、v表示频域点的图像表示时的空间位置；M、N 和m、n 分别表示图像的尺寸。对于图像的傅里叶变换，就是一个二维离散傅里叶变换，它利用一个域平面上的每一点来生成另一个域上某个点的信息。而对于f和F并不需要符合一个连续的公式，只需要对每个离散的f(x, y) 和F(u, v) 变换的值进行累加即可。

图像傅里叶在原理上的核心公式只有这一部分，接下来在下将在这一章中的剩余介绍matlab中傅里叶变换几个函数的使用。

1.2 matlab函数fft的使用

傅里叶变换中使用到的函数主要是：fft、ifft、fft2、ifft2、fftshift、ifftshift。

在进行傅里叶变换时先介绍fftshift和ifftshift。

细心的朋友可能已经注意到了，上一节傅里叶变换的公式中采用的累加区域是[0, M-1]、[0, N-1]、[0, m-1]和[0, n-1]，并非采用1为起点来构造函数，这是因为在傅里叶变换的过程中是把一个有限的区域视作一个圆周，每相邻两点间的夹角经过一周会构成一个完整的圆。（具体的可视化过程我会在后面的章节或者文章中反复提出，这里只是使用它的结论）采用0作为基点表明0处是一个周期的中心部分，然而对于离散的线段而言，中心的位置有可能在一个离散点上，也有可能在两个点的中间，无取值处。所以，把一个这样的周期段位置中心化就用到了shift的计算（shift是傅里叶变换的一个性质，会在Fourier_02探究性质的过程中提到），而对应这两种中心不同的方式，以及shift操作的还原情况我们采用了以下代码来验证：

clear all
clc

I_1D_odd  = [1, 2, 3, 4, 5];
I_1D_even = [6, 5, 4, 3, 2, 1];
I_2D_odd  = magic(5);
I_2D_even = magic(6);
I_2D_eo   = rand(5, 6);
I_2D_oe   = rand(6, 5);

I_1D_odd_shift   = fftshift(I_1D_odd);
I_1D_odd_si      =ifftshift(I_1D_odd_shift);
I_1D_odd_ss      = fftshift(I_1D_odd_shift);

I_1D_even_shift  = fftshift(I_1D_even);
I_1D_even_si     =ifftshift(I_1D_even_shift);
I_1D_even_ss     = fftshift(I_1D_even_shift);

I_2D_odd_shift   = fftshift(I_2D_odd);
I_2D_odd_si      =ifftshift(I_2D_odd_shift);

I_2D_even_shift  = fftshift(I_2D_even);
I_2D_even_si     =ifftshift(I_2D_even_shift);

I_2D_eo_shift    = fftshift(I_2D_eo);
I_2D_eo_si       =ifftshift(I_2D_eo_shift);

I_2D_oe_shift    = fftshift(I_2D_oe);
I_2D_oe_si       =ifftshift(I_2D_oe_shift);

代码0101 fftshift的使用方式测

得到的结果如表格示意图：

图片0101 将矩阵进行fftshift和ifftshift的矩阵结果

对这张图进行标记可以更明显的看出shift的操作方式：

图片0102 将矩阵标记后的shift结果

我们可以得到如下结论：

（1）fftshift将行（或者列）边界部分转换到正中心（无论奇偶）。

（2）ifftshift能将fftshift的矩阵还原到原矩阵，只使用fftshift会如角标_ss的部分无法完整还原到原矩阵。

这两个结论在MATLAB的help文档中都有很好的描述，在学习编程和这些函数操作的时候，在下非常鼓励大家仔细的阅读文档，读懂文档可以省去很多如上罗列的粗糙的验证过程，在文档说明不明确的时候再设计小实验验证，补全自己不完整的思考。在下在这里搬运出来fftshift和ifftshift的文档如下：

图片0103 fftshift在MATLAB的help文档中的描述图片0104 ifftshift在MATLAB的help文档中的描述

现在开始演示图像傅里叶变换函数的使用：

我们在这里可以设计一段程序来做实验，验证在傅里叶变换中经过正变换和逆变换之后仍然能还原成原来的信息，在此在下设计了一个一维波形wave和二维图像lena对来进行正反变换，代码如下：

clear all
clc

%%%---设计一维函数wave---%%%
N = 256;
for x = 1:1:N
    func(x) = 0.5*(sin(x*2*pi/N))^2*exp(-abs(x-N/2)/(N/4));
end
figure;
subplot(231);plot(func);
title('wave');axis([1 N min(func) max(func)])

%%%---将一维函数进行傅里叶变换---%%%
func_fft = fftshift(fft(func));
subplot(232);plot(real(func_fft));%% 显示实部
title('wave-fft');axis([1 N min(real(func_fft)) max(real(func_fft))])

%%%---将频谱进行傅里叶逆变换---%%%
func_ifft = ifft(ifftshift(func_fft));%% 变换时还是变换复数谱
subplot(233);plot(real(func_ifft));
title('wave-ifft');axis([1 N min(func_ifft) max(func_ifft)])



%%%---读取lena图像---%%%
I = imread('lena.jpg');
I = rgb2gray(I);
I = im2double(I);%% 将图像数据转换成double(0, 1)的范围内
subplot(234);imshow(I);title('lena')

%%%---将lena进行傅里叶变换---%%%
I_fft = fftshift(fft2(I));
subplot(235);imshow(log(abs(I_fft)+1), [ ] );title('lena-fft')%% 对数化频谱

%%%---将二维频谱进行傅里叶逆变换---%%%
I_ifft = ifft2(ifftshift(I_fft));
subplot(236);imshow(real(I_ifft), [ ]);title('lena-ifft')



%%%---计算正反变换之后的差值---%%%
sub_1=func-func_ifft;
sub_2=I-I_ifft;

代码0102 一维与图像傅里叶变换的正反变换函数的使用

在这个实验中，我们先预测一个结果：在理想条件下，经过正反变换的信息能完全还原成初始信息。通过以上程序进行计算，我们得到如下结果：

图0105 wave和lena的正反傅里叶变换结果图

图中fft表示频谱，ifft表示经过正反变换的结果图，计算得到的sub_1和sub_2的值为：sub_1_max = 5.5511 × 10^(-17)、sub_1_min = -5.5511 × 10^(-17)、 sub_2_max = 6.1062 × 10^(-16) 、sub_2_min = -6.6613 × 10 ^(-16) 。

人眼可观察的结果达到了还原的效果，但是计算并没有达到100%复原原始信息。差值的量级在10-16及以下，造成这个结果的原因是double这个数据类型的计算误差，详细请参考IEEE 754标准，因此，我们可以认为之前预测的结果成立：“在理想条件下，经过正反变换的信息能完全还原成初始信息。”

另外，要说明的是，设计代码的过程中，有一个“互补”的式子：fftshift(fft(function))和ifft(ifftshift(function))。在这个变换对中在下理解的是：fftshift主要作用仅仅是让可视化过程中基频移到正中央。

在这段代码的操作过程中，在下有一些“冗余动作”，这些动作对于有一定MATLAB图像处理基础的朋友来说并不陌生，如果这些“冗余动作”动作不理解的，有一些重要部分在下会在后面慢慢补充说明，也欢迎发邮件与在下交流这些问题，当然最希望的还是能第一时间能通过help文档解决这些小麻烦。

对于单纯的操作来说，这一部分也确是只需要调用函数来完成，因此，我们还是有必要尽早进入下一个部分：如何用MATLAB编写傅里叶正反变换的函数。

1.3 matlab编写图像傅里叶变换函数

使用matlab来编写傅里叶变换的函数，主要目的是了解傅里叶变换的参量，实现算法流程的规划。那么回到二维离散傅里叶正反变换的式子：

在正变换的式子里面，已知空间域图像的边界长度为：m和n，频域的边界长度为M和N，自变量是图像在空间位置上某一点的能量强度：f(x,y)，最终得到因变量：F(u,v)。反变换与此类似自变量和因变量位置互换。明确了参量之后，可以着手开始编写程序，并与MATLAB提供的fft函数结果进行比较，有代码如下：

clear all
clc

%%%---读取lena图像---%%%
I = imread('lena.jpg');
I = rgb2gray(I);
I = im2double(I);%% 将图像数据转换成double(0, 1)的范围内
J = I(76:175, 76:175);
figure;imshow(J)


[m, n] = size(J);
N = m*2;
M = n*2;

J_fft = zeros(M, N);
for u = 1:1:M
    for v = 1:1:N
for x = 1:1:m
    for y = 1:1:n
        J_fft(u, v) = J_fft(u, v)+J(x, y)*exp(-1i*2*pi*(x*u/M+y*v/N));
    end
end
    end
end
figure;imshow(fftshift(log(abs(J_fft)+1)), [ ])


J_ifft = zeros(m, n);
for x = 1:1:m
    for y = 1:1:n
for u = 1:1:M
    for v = 1:1:N
        J_ifft(x, y) = J_ifft(x, y)+J_fft(u, v)...     %% 频谱尺度大于空域？
                       *exp(1i*2*pi*(x*u/(M)+y*v/(N)));%% 必须是频谱的尺度？
    end
end
    J_ifft(x, y) = 1/(M*N)*J_ifft(x, y);
    end
end
figure;imshow(real(J_ifft), [ ])

sub = J - J_ifft;

figure;
subplot(131);
imshow(J, [ ]);title('lena-100');
subplot(132);
imshow(fftshift(log(abs(J_fft)+1)), [ ]);title('lena-100-fft');
subplot(133);
imshow(real(J_ifft), [ ]);title('lena-100-ifft');

代码0103 傅里叶变换正反变换的编写

得到结果如图：

图片0106 编写得到的傅里叶变换

在刚刚编写这段程序的过程中，在下发现了自己有一个不严密的地方：exp⁡(function)里面除数的选择，这个部分有一些物理意义需要理清，可能还会更改这一页日志的内容。

不过，函数通过扩展频谱尺寸的做法（将空域100X100扩大到频域200X200）实现了时频域图片尺度不同时的完全转换（sub结果在计算误差范围内）达到了自编函数的目的。并且由于自编的算法是完全的傅里叶变换而不是fft（快速傅里叶变换），计算量比较大（也是这个原因在下将图像裁剪到100X100，否则原尺寸来算比现在计算量会大十倍）。

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规则约束v1.0

Sun, 13 Nov 2016 00:00:00 +0000

About Blog’s Index Rules

The Motivation

I’ve just finished the blog theme’s moving and rebuild, Next huge project will add some MD files in to fulfill it. So before this, I need to make those rules to organize my blog well, in case of the mass after too much information pilled up.

Basic thought about index

There are only two kind of index way I could use in this blog: the “Gategory” and “tag”. It’s easy to associate them with vertically and horizontally method. So, I’d like to choose the “Gategory” as a time clue, and the “tag” as key words clue.

Gategory

I’ll fill this part with the time-clue-article. And it will be a clear way to show those little drops.

The format will look like this: “year_month”

Tag

Just as the surface meaning, “tag” will show different aspects of my tech-life.

Some examples follows: “C_Langues” “Axure” “Blog” etc.

Advanced suggestions

Maybe I’ll offer another way to display this well. And there are still some other advance work remains to be done like to fix up the playing ground or change some pre-plans of this. But now, I’m enjoying the distribution of Binghua Wang. And just upload the articles for a while without moving on. on.

Self_Intro

Sun, 13 Nov 2016 00:00:00 +0000

李俊瑶_个人简历

基本信息

学校：中国舰船研究院学历：硕士研究生联系电话：15527796468 联系邮箱：lijunyao@sicun.org

爱好&&技能

文案策划
阅读涉猎
交互设计
团队管理

教育经历

华中科技大学光学与电子信息学院光电信息工程
中国舰船研究院光学工程

技术/工具

语言：Assembly_Language C_Language Markdown
工具：Axure Photoshop Word Matlab VisualStudio Keil Zemax
技术：Interactive_design graphic_design information_optical image_processing

毕业设计的代码问题

Sat, 18 Jun 2016 00:00:00 +0000

毕业设计的代码问题

设计模拟数字转换

一方面设计一个频域数字滤波器另一方面把图像你和成模拟用CWT滤波

归一化的问题

函数：

g = imadjust(f, [low_in, high_in], [low_out, high_out], gamma)
//gamma取1为正相关性质

以及函数的配合使用：P60

图像亮度增强

对比度的变化：函数：

intrans（f, 'strretch', mean2(im2double(f)), 0.9）;

空间滤波

滤波器的函数（colfilt和nlfilter）：

g = confilt(f, [m n], 'sliding', @fun, paramenters )
//m，n是滤波区域的维数，'sliding'是滑动方式，@fun是引用函数，parameters是函数fun引用的数据

我需要做出来的滤波器函数：

H(u, v) = 2π(u^2+v^2)G(u, v)

G(u, v) = 2πexp[-2π(u^2+v^2)]

‘P81’

投影取中心

要求出实际函数的正中位置才能很好的用滤波器矩阵点乘运算

Tech House of FLY

Fourier_01_图像傅里叶变换的公式推导（二）

2 卷积运算形式

2.1 卷积公式

2.2 卷积过程

2.3 卷积性质

Fourier_01_图像傅里叶变换的公式推导（一）SP——指正与补充

图像傅里叶变换的公式推导SP——指正与补充

1 Point_out_Q1 fftshift(fft(fftshift(function)))的形式

2 Point_out_Q1 离散傅里叶变换矩阵

Fourier_01_图像傅里叶变换的公式推导（一）

1 图像的傅里叶变换公式

1.1 二维离散傅里叶变换公式

1.2 matlab函数fft的使用

1.3 matlab编写图像傅里叶变换函数

规则约束v1.0

About Blog’s Index Rules

The Motivation

Basic thought about index

Gategory

Tag

Advanced suggestions

Self_Intro

李俊瑶_个人简历

基本信息

爱好&&技能

教育经历

相关项目

技术/工具

毕业设计的代码问题

毕业设计的代码问题

设计模拟数字转换

归一化的问题

图像亮度增强

空间滤波

相关和卷积以及填充问题

滤波器的函数（colfilt和nlfilter）：

投影取中心